Regilye polyhedra: eleman, simetri ak zòn

Jewometri se bèl nan sa, kontrèman ak aljèb, kote li pa toujou klè ki sa ak poukisa ou panse, li bay vizibilite nan objè. Se mond etonan nan diferan kò dekore avèk regilye polyhedra.

Enfòmasyon jeneral sou polèdra regilye yo

Dapre anpil, regilye polyhedra, oswa jan yo rele yo kò Platonik, yo gen pwopriyete inik. Plizyè hypotheses syantifik yo asosye avèk objè sa yo. Lè ou kòmanse etidye kò sa yo jeyometrik, ou konprann ke ou konnen pratikman pa gen anyen sou tankou yon konsèp kòm polyhedra regilye. Prezantasyon an nan bagay sa yo nan lekòl la se pa toujou enteresan, anpil pa menm sonje sa yo rele yo. Nan memwa nan pi fò moun, sèlman kib la rete. Okenn nan kò yo nan jeyometri gen pèfeksyon sa yo kòm regilye polyhedra. Tout non nan kò sa yo jeyometrik soti nan ansyen Grès. Yo vle di nimewo a nan figi: Tetrahedron - tetraedrèl, hexahedral - hexahedral, octahedron - octahedral, dodecahedron - douz disid, icosahedron - ven-sided. Tout kò sa yo jeyometrik okipe kote ki pi enpòtan nan KONSEPSYON Platon an nan linivè la. Kat nan yo reprezante eleman oswa esans: tetraedron - dife, icosahedron - dlo, kib - latè, octahedron - lè. Dodecahedron la incorporée tout sa ki egziste. Li te konsidere kòm prensipal la, paske li te yon senbòl nan linivè a.

Jeneralizasyon nan konsèp nan yon polyhedron

Yon polyhedron se yon koleksyon yon nimewo finite nan poligòn tankou sa:

• Chak bò nan nenpòt nan poligòn yo se ansanm bò a nan yon sèl lòt poligòn ansanm sou menm bò a;
• Soti nan chak nan poligòn yo, ou ka ale nan lòt moun yo pase ansanm poligòn adjasan.

Poligòn yo ki fè moute polyhedron yo ap fè fas li yo, ak kote yo se bor yo. Vètè yo nan poligòn yo se verite yo nan poligòn. Si se konsèp nan yon poligòn konprann yo dwe plat fèmen liy poligonal, Lè sa a, yon sèl vini nan definisyon an menm nan yon polyhedron. Nan ka a lè sa a vle di yon pati nan avyon an ki limite pa liy kase, li nesesè yo konprann yon sifas ki gen ladan moso poligon. Yon polikon konvèks se yon kò ki kouche sou yon bò nan avyon an adjasan a fas li yo.

Yon lòt definisyon yon polyhedron ak eleman li yo

Yon polyhedron se yon sifas ki gen ladan poligòn ki limit yon kò jewometrik. Yo se:

• Nonkonvex;
• Convex (dwa ak sa ki mal).

Yon polidè regilye se yon polyeon konvèks ak simetri maksimòm. Eleman nan polyhedra regilye:

• Tetrahedron: 6 bor, 4 fas, 5 sèk;
• Hexahedron (kib): 12, 6, 8;
• Dodecahedron: 30, 12, 20;
• Octahedron: 12, 8, 6;
• Icosahedron: 30, 20, 12.

Teyorèm Euler la

Li etabli yon koneksyon ant kantite bor, vèt, ak ap fè fas topolojik ekivalan a yon esfè. Ajoute kantite vèt ak figi (B + D) pou diferan polyhedra regilye ak konpare yo ak kantite bor, yon moun ka etabli yon regilarite: sòm total la nan fas ak somè egal a ki kantite bor (P) ogmante pa 2. Youn ka dériver yon fòmil ki senp:

• B + F = P +2.

Fòmil sa a se verite pou tout polyhedra konvèks.

Definisyon Debaz

Konsèp yon polidè regilye pa ka dekri nan yon fraz. Li se plis polisemantik ak volumineuz. Pou yon kò yo dwe rekonèt kòm sa yo, li nesesè ke li konfòme yo ak yon kantite definisyon. Kidonk, yon kò jewometrik pral yon polyèdin regilye lè kondisyon sa yo ap akonpli:

• Li se konvèks;
• Menm kantite bor konvèje nan chak nan vèt li yo;
• Tout figi li yo se poligòn regilye egal youn ak lòt;
• Tout ang dihedral li yo egal.

Pwopriyete regilye polyedra

Gen 5 diferan kalite regilye polyhedra:

1. Kib (hexahedron) - li gen yon ang plat nan APEX a 90 °. Li te gen yon ang 3-varye. Sous la nan ang yo planar nan APEX a se 270 °.
2. Tetraedè a se yon kwen plat nan apex de 60 °. Li te gen yon ang 3-varye. Sous la nan ang yo planar nan vertex la se 180 °.
3. Octahedron se yon ang plat nan apex de 60 °. Li te gen yon ang 4-kwen. Sòm la nan ang yo plat nan tèt la se 240 °.
4. Dodecahedron a se yon ang plat nan APEX a 108 °. Li te gen yon ang 3-varye. Sous la nan ang yo planar nan APEX a se 324 °.
5. Icosahedron - li gen yon ang plat nan tèt la - 60 °. Li te gen yon ang 5-varye. Sòm Angilè planèt yo nan vèteks la se 300 °.

Zòn nan regilye polyedra

Se zòn sifas nan kò sa yo jeyometrik (S) kalkile kòm zòn nan nan yon poligòn regilye miltipliye pa kantite fas li yo (G):

• S = (yon: 2) x 2G ctg π / p.

Volim yon polidè regilye

Valè sa a kalkile nan miltipliye volim piramid regilye a, nan baz la ki se poligòn regilye a, pa kantite fas, ak wotè li se reyon an nan esfè a enskri (r):

• V = 1: 3rS.

Komèsan yo nan regilye polyhedra

Tankou nenpòt ki lòt kò jewometrik, regilye polyhedra gen komèsan diferan. Anba a se fòmil yo ki kote yo ka kalkile:

• Tetrahedron: α x 3 √2: 12;
• Octahedron: α x 3 √2: 3;
• Icosahedron; Α x 3;
• Hexahedron (kib): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
• Dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Eleman nan regilye polyhedra

Hexahedron a ak octahedron yo se kò jeyometrik doub. Nan lòt mo, yo ka jwenn nan chak lòt nan evènman an ki sant lan nan gravite nan figi yon sèl la pran kòm vètek a nan lòt la, ak vis vèrsa. Epitou, icosahedron la ak dodecahedron la yo se doub. Se sèlman yon Tetrahedron se doub nan tèt li. Pa metòd Euklid, yon moun ka jwenn yon dodecahedron ki soti nan yon hexahedron pa konstwi "do kay" sou fas yo nan kib la. Vètè yo nan tetraedè a se nenpòt ki 4 vèt nan kib la pa adjasan nan pè ansanm kwen an. Soti nan hexahedron a (kib) yon moun ka jwenn lòt polyhedra regilye. Malgre lefèt ke poligòn regilye gen multitud, polièdr regilye, te gen sèlman 5.

Radii nan poligòn regilye

Avèk chak nan kò sa yo jeyometrik, 3 esfè konsantrik yo konekte:

• Dekri, pase nan vètikal li yo;
• Li enskri, manyen chak nan figi li yo nan sant la nan li;
• Mwayen, manyen tout zo kòt yo nan mitan yo.

Se reyon ki nan esfè a ki dekri yo kalkile nan fòmil ki annapre yo:

• R = yon: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Se reyon an nan esfè a nan enskri a kalkile nan fòmil la:

• R = yon: 2 × ctg π / p × tg θ: 2,

Ki kote θ se ang lan de-sided ki bay manti ant figi adjasan.

Ka reyon an nan esfè a medyèn dwe kalkile nan fòmil ki annapre yo:

• Ρ = yon cos π / p: 2 sin π / h,

Ki kote h se yon valè de 4.6, 6.10 oswa 10. Rapò a nan radi yo ki dekri ak enskri se simetrik ki gen rapò ak p ak q. Li kalkile nan fòmil la:

• R / r = tg π / p × tg π / q.

Simetri nan polyedra

Simetrik regilye polyhedra lakòz enterè prensipal la nan kò sa yo jeyometrik. Li konprann kòm mouvman an nan yon kò nan espas, ki kite menm kantite vèt, fè fas ak bor. Nan lòt mo, anba aksyon an nan transfòmasyon simetri a, kwen an, vètek, oswa figi swa konsève pozisyon orijinal li, oswa deplase nan pozisyon orijinal la nan yon lòt kwen, yon lòt somè oswa figi.

Eleman nan simetri nan regilye polyhedra yo se nannan nan tout kalite kò sa yo jeyometrik. Isit la nou ap pale sou transfòmasyon idantite a, ki kite nenpòt nan pwen yo nan pozisyon orijinal la. Se konsa, lè wotasyon yon prism poligonal, ka simetri plizyè ka jwenn. Nenpòt nan yo ka reprezante kòm yon pwodwi nan refleksyon. Simetri, ki se pwodwi a nan yon kantite menm nan refleksyon, yo rele yon liy. Si se pwodwi a nan yon nimewo enpè nan refleksyon, Lè sa a, yo rele li envès la. Se konsa, tout wotasyon ki ozalantou yon liy dwat reprezante yon simetri dirèk. Nenpòt refleksyon nan poledèd lan se simetri a envès.

Pou pi byen konprann simetri eleman yo nan regilye polyhedra, nou ka pran yon egzanp yon Tetraedron. Nenpòt liy ki va pase nan youn nan somè yo ak sant la nan fòm la jewometrik, pral pran plas, ak nan sant la nan opoze a kwen nan li. Chak nan Torsion yo nan 120 ak 240 ° alantou liy lan ki dwe nan nimewo a pliryèl nan simetri nan tetraedè a. Depi li gen 4 vèt ak ap fè fas, gen sèlman uit simetri dirèk. Nenpòt nan liy dwat yo pase nan mitan an nan kòt la ak sant la nan kò sa a pase nan mitan an nan kwen opoze li yo. Nenpòt wotasyon 180 °, ki rele yon demi-vire, alantou liy lan se simetri. Depi yon Tetraedron gen twa pè bor, Lè sa a, gen twa plis simetri dirèk. Pwosè soti nan pi wo a, li ka konkli ke kantite total simetri dirèk, ki gen ladan transfòmasyon ki idantik, pral rive nan douz. Pa gen okenn lòt simetri dirèk pou Tetrahedron a, men li gen 12 simetri envès. Kontinwe, tetraedè a karakterize pa sèlman 24 symmetri. Pou klè, ou ka bati yon modèl nan yon Tetrahedron regilye soti nan bwat katon epi asire w ke kò sa a jeyometrik reyèlman gen sèlman 24 symmetri.

Dodecahedron la ak ikosahedron yo se kò ki pi pre esfè a. Icosahedron la gen pi gwo kantite fas, pi gwo dihedral ang lan, ak pi pre a li kapab esfè a enkwayab. Dodecahedron la gen pi piti domaj angilè a, pi gwo ang lan solid nan apex la. Li ka ranpli esfè li dekri pi plis ke posib.

Deplwaye polyhedra

Polikè ki kòrèk la nan bale a, ki nou tout kole ansanm nan anfans, gen anpil konsèp. Si gen yon koleksyon poligòn, chak bò ki idantifye ak yon sèl bò nan polyhedron a, Lè sa a, idantifikasyon an nan kote sa yo dwe koresponn ak de kondisyon:

• Soti nan chak poligòn se posib yo ale nan poligòn ki gen bò ki idantifye;
• Moun ki idantifye yo dwe gen menm longè.

Li se koleksyon an nan poligòn ki satisfè kondisyon sa yo ki te rele dewoulman nan yon polyhedron. Chak nan sa yo kò gen plizyè nan yo. Pou egzanp, kib la gen 11 moso.