Konvèsyon poligòn. Definisyon yon poligon konvèks. Diagonal nan yon poligon konvèks

Sa yo figi jeyometrik antoure nou toupatou. Polikon konvèks yo natirèl, pou egzanp, myèl abèy oswa atifisyèl (ki te kreye pa moun). Figi sa yo yo te itilize nan pwodiksyon an nan divès kalite penti, nan penti, achitekti, dekorasyon, elatriye. Polikon konvèks gen pwopriyete a ki tout pwen yo ki sitiye sou yon sèl bò nan liy ki pase nan yon pè vètikal vwazen nan figi sa a jewometrik. Gen lòt definisyon. Konvèks se ke poligòn ki sitiye nan yon sèl mwatye-avyon ki gen rapò ak nenpòt ki liy ki gen youn nan kote li yo.

Konvèsyon poligòn

Nan kou nan jeyometri elemantè, nou toujou konsidere sèlman poligòn senp. Pou konprann pwopriyete yo nan fòm jewometrik ou bezwen konprann nati yo. Pou kòmanse, li ta dwe konprann ke nenpòt ki liy ki gen kwen kwen se rele fèmen. Ak figi a ki te fòme pa li ka gen yon varyete de konfigirasyon. Yon poligòn se yon liy senp fèmen poligonal ki gen lyen adjasan pa kouche sou menm liy lan. Lyen li yo ak tèt yo, respektivman, kote sa yo ak verite nan figi jewometrik sa a. Yon polyl senp dwe pa gen entèseksyon pwòp tèt ou.

Vètè yo nan yon poligòn yo rele adjasan yo si yo reprezante pwent yo nan youn nan kote li yo. Yon figi jewometrik ki gen nimewo n-th nan vèt, yo e pakonsekan nimewo n-th nan kote, yo rele yon n-gon. Se liy lan kase tèt li yo rele fwontyè a oswa kontou nan figi sa a jewometrik. Yon avyon poligonèl oswa yon poligon avyon yo rele pati a fini nan nenpòt avyon limite pa li. Kote sa yo vwazen sa a figi jeyometrik yo segman yo nan yon liy kase kòmanse nan yon sèl somè. Yo pa pral vwazen si yo soti nan venn diferan nan poligòn la.

Lòt definisyon nan poligòn konvèks

Nan jeyometri elemantè, gen plizyè definisyon plis ekivalan an tèm de valè li yo, ki endike ki poligòn yo rele konvèks. Ak tout fòmilasyon sa yo se egalman vre. Yon polygon konvèks konsidere kòm:

• chak segman ki konekte tout de pwen andedan li manti nèt nan li;

• andedan li kouche tout dyagonal li yo;

• Nenpòt ang entèn pa depase 180 °.

Polygon la toujou divize avyon an an de pati. Youn nan yo limite (li ka fèmen nan yon sèk), ak lòt la se san limit. Premye a yo rele rejyon an enteryè, ak dezyèm lan yo rele rejyon an ekstèn nan figi sa a jewometrik. Sa a poligòn se entèseksyon an (nan lòt mo - eleman komen an) nan plizyè mwatye-avyon. Nan ka sa a, chak segman ki gen bout nan pwen yo ki apatni a poligòn a konplètman fè pati li.

Varyete nan poligon konvèks

Definisyon yon poligon konvèks pa endike ke gen anpil kalite yo. Ak chak nan yo gen kritè sèten. Se konsa, konvèks poligòn ki gen yon ang entèn ki egal a 180 ° yo rele fèb konvèks. Yon figi konvèks jeyometrik ki gen twa vèti yo rele yon triyang, kat se yon kwadrilatè, senk se yon pentagon, elatriye. Chak nan n-gon konvèks satisfè kondisyon ki pi enpòtan yo: n dwe egal a oswa pi gran pase 3. Chak triyang yo konvoksi. Yon figi jewometrik nan kalite sa a, nan ki tout somè yo sitiye sou yon sèl sèk, yo rele ki enskri nan yon sèk. Yon polygon konvèks yo rele dekri si tout kote li yo tou pre sèk la manyen li. De poligòn yo rele egal sèlman si yo ka konbine pa sipèpoze. Yon avyon poligonèl rele yon poligon avyon (yon pati nan avyon an), ki limite pa figi jewometrik sa a limite.

Korije poligòn konvèks

Poligòn kòrèk yo se figi jeyometrik ak ang egal ak kote. Nan yo gen yon pwen 0, ki se nan menm distans ki soti nan chak nan vèt li yo. Yo rele sa sant figi jewometrik sa a. Segman yo ki konekte sant la ak vèmin yo nan figi sa a jeyometrik yo rele apopèm, ak moun ki konekte pwen nan 0 nan kote sa yo se radii.

Quadrilateral dwat la se yon kare. Yon triyang regilye yo rele ekilateral. Pou figi sa yo, règ sa a egziste: chak ang yon poligon konvèks se 180 ° * (n-2) / n,

Ki kote n se kantite vètè figi konvèks jeyometrik sa a.

Zòn nan nan nenpòt poligòn regilye se defini nan fòmil la:

S = p * h,

Ki kote p egal a mwatye sòm tout kote yon polygon bay, e h egal a longè apopèm lan.

Pwopriyete polygon konvèks

Polikon konvèks gen pwopriyete sèten. Se konsa, segman an ki konekte nenpòt ki 2 pwen nan yon figi jeyometrik nesesèman ki sitiye nan li. Prèv:

Sipoze ke P se yon polygon konvèks bay. Nou pran 2 pwen abitrè, pou egzanp, A, B, ki apatni a P. Dapre definisyon an ki deja egziste nan yon poligon konvèks, pwen sa yo yo sitiye sou yon sèl bò nan liy lan ki gen nenpòt ki bò nan P. Se poutèt sa, AB tou te gen pwopriyete sa a epi ki genyen nan P. Yon polygon konvèks se toujou Li se posib yo divize an triyang plizyè pa absoliman tout dyagonal yo ki trase soti nan youn nan vètikal li yo.

Ang nan konvèks figi jewometrik

Ang nan yon poligon konvèks se ang yo ki fòme pa kote li yo. Kwen entèn yo nan zòn nan entèn nan figi jewometrik sa a. Ang la ki fòme pa kote li yo, ki konvèje nan yon sèl somè, yo rele ang lan nan konvèks poligòn la. Corners adjasan nan kwen yo entèn nan figi a jeyometrik, ki rele ekstèn. Chak ang nan poligòn konvèks ki sitiye andedan li egal a:

180 ° - x,

Ki kote x se valè ang lan ekstèn. Fòmil sa a senp aplike nan nenpòt figi jewometrik nan kalite sa a.

An jeneral, pou ang ekstèn, règ sa a egziste: chak ang yon poligon konvèks egal a diferans ki genyen ant 180 ° ak valè a nan ang la entèn yo. Li ka gen valè sòti nan -180 ° a 180 °. Se poutèt sa, lè kwen enteryè a se 120 °, ang deyò a pral 60 °.

Sòm nan ang yo nan poligòn konvèks

Sous la nan ang enteryè yo nan yon poligon konvèks se etabli pa fòmil la:

180 ° * (n-2),

Ki kote n se kantite vètè n gon an.

Sous la nan ang yo nan yon poligon konvèks se kalkile byen tou senpleman. Konsidere nenpòt ki figi jewometrik. Pou detèmine sòm nan ang yo andedan yon poligon konvèks, youn nan vèt li yo dwe konekte ak lòt verite. Kòm yon rezilta nan aksyon sa a, nou jwenn (n-2) triyang. Li konnen ke sòm total ang lan nan nenpòt triyang se toujou 180 °. Depi nimewo yo nan nenpòt poligòn egal (n-2), sòm nan ang entèn yo tankou yon figi se 180 ° x (n-2).

Sous la nan ang yo nan yon poligon konvèks, sètadi nenpòt de entèn ak adjasan ang ekstèn, pou yon figi convex jeyometrik ap toujou 180 °. Pwosè sa a, li posib pou detèmine sòm tout ang li yo:

180 x n.

Sous la nan ang yo entèn se 180 ° * (n-2). Pwosè sa a, sòm total tout ang ekstèn nan figi yo bay la etabli pa fòmil la:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Sous la nan ang yo deyò nan nenpòt poligon konvèks ap toujou 360 ° (kèlkeswa kantite kote li yo).

Kwen ekstèn poli konvèks la jeneralman reprezante pa yon diferans ki genyen ant 180 ° ak valè ang lan entèn yo.

Lòt pwopriyete yon poligon konvèks

Anplis pwopriyete debaz yo nan figi jewometrik sa yo, yo gen lòt moun ki leve lè yo manipile yo. Kidonk, nenpòt nan poligòn yo kapab divize an plizyè n-gon konvèks. Pou sa, li nesesè kontinye chak nan kote li yo ak koupe figi sa a jeyometrik ansanm liy sa yo dwat. Ou ka fann nenpòt poligòn nan plizyè pati konvèks ak nan yon fason ke vètikal yo nan chak nan moso yo kowenside ak tout vètikal li yo. Soti nan figi sa a jeyometrik li trè fasil fè triyang pa kenbe tout dyagonal yo soti nan yon sèl somè. Se konsa, nenpòt ki poligòn, nan analiz final la, ka divize an yon sèten kantite triyang, ki se trè itil nan rezoud pwoblèm divès kalite ki asosye ak figi sa yo jeyometrik.

Perimèt nan yon poligon konvèks

Segman yo nan yon liy kase, yo rele kote sa yo nan yon poligòn, yo pi souvan siyifye pa lèt sa yo: ab, bc, cd, de, ea. Sa yo se kote yo nan figi a jeyometrik ak somè yo a, b, c, d, e. Se sòm total la nan tout kote sa a poligon konvèks yo rele perimèt li yo.

Fè yon ti wonn nan yon poligòn

Polikon konvèks ka enskri ak dekri. Yon ti sèk ki manyen tout pati nan figi sa a jeyometrik rele ki enskri nan li. Se tankou yon poligòn ki rele dekri. Sant la nan sèk la ki enskri nan poligòn a se pwen an entèseksyon nan bisektè yo nan tout ang andedan yon figi jewometrik bay yo. Zòn lan nan tankou yon poligòn egal:

S = p * r,

Ki kote r se reyon an nan sèk la enskri, ak p se semiperimètr a nan bay polygon an.

Yon sèk ki gen verite nan yon poligòn yo rele dekri tou pre li. Nan ka sa a, sa a konvèks figi jewometrik yo rele enskri. Sant la nan sèk la, ki se dekri tou pre tankou yon poligòn, ki reprezante pwen an nan entèseksyon sa yo rele pèpandikulèr nan mitan tout kote.

Diagonal nan konvèks figi jewometrik

Diagonal nan yon poligon konvèks se segments ki konekte pa vèt vèt. Chak nan yo manti andedan figi jewometrik sa a. Se nimewo a nan dyagonal nan tankou yon N-gon etabli pa fòmil la:

N = n (n-3) / 2.

Nimewo a nan dyagonal nan yon poligon konvèks jwe yon wòl enpòtan nan jeyometri elemantè. Kantite triyang (K), kote chak polyo konvèks ka kase, kalkile fòmil sa a:

K = n - 2.

Nimewo a nan dyagonal nan yon poligon konvèks toujou depann sou ki kantite vètikal li yo.

Pataje yon poligon konvèks

Nan kèk ka, yo rezoud pwoblèm jeyometrik, li nesesè kraze yon poligon konvèks nan triyang plizyè ak dyagonal disjoint. Pwoblèm sa a ka rezoud lè li apiye yon fòmil definitif.

Definisyon pwoblèm nan: nou rele yon dekonpozisyon sèten nan yon n-gon konvèks nan triyang plizyè pa dyagonal entèseksyon sèlman nan verite yo nan figi jewometrik sa a.

Solisyon: Sipoze ke P1, P2, P3 ..., Pn yo se verite sa a n-gon. Nimewo a Xn se nimewo a nan Partitions li yo. Nou ak anpil atansyon konsidere dyagonal la ki kapab lakòz nan figi a jeyometrik Pi Pn. Nan nenpòt nan patisyon regilye yo P1 Pn ki dwe nan yon sèten triyang P1 Pi Pn, pou ki 1

Se pou mwen = 2 gen yon sèl gwoup nan Partitions regilye, toujou ki gen dyagonal P2 Pn la. Nimewo a nan Partitions ki antre nan li konyenside avèk kantite partition nan (N-1) -gòn P2 P3 P4 ... Pn. Nan lòt mo, li egal Xn-1.

Si mwen = 3, Lè sa a, sa a lòt gwoup nan Partitions ap toujou gen dyagonal P3 P1 ak P3 Pn. Nan ka sa a, kantite partitions regilye ki genyen nan gwoup sa a ap kowenside ak kantite partitions (n-2) -gon P3 P4 ... Pn. Nan lòt mo, li pral egal a Xn-2.

Se pou mwen = 4, pami triyang yo patisyon regilye a nesesèman gen yon triyang P1 P4 Pn ki kadrilateral P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P4 P5 ... Pn, adjoins. Nimewo a nan Partitions regilye nan tankou yon kwadrilatè egal X4, ak nimewo a nan Partitions nan (n-3) -gon a egal a Xn-3. Ki baze sou tout pi wo a, nou ka di ke kantite total partitions regilye ki genyen nan gwoup sa a egal a Xn-3 X4. Lòt gwoup pou mwen = 4, 5, 6, 7 ... ap gen ladan Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... nan Partitions regilye.

Se pou mwen = n-2, Lè sa a, kantite partitions regilye nan gwoup la bay yo kowenside ak kantite partitions nan gwoup la pou ki mwen = 2 (nan lòt mo, li egal Xn-1).

Depi X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., Lè sa a, nimewo a nan tout Partitions nan yon poligon konvèks ki egal a:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Egzanp:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Nimewo a nan Partitions regilye entèseksyon yon sèl dyagonal

Nan verifikasyon an nan ka patikilye, yon moun ka vini nan sipozisyon an ki kantite dyagonal nan konvèks n-gon egal pwodui nan tout Partitions nan figi sa a pa (n-3).

Prèv sa a sipozisyon: sipoze ke P1n = Xn * (n-3), Lè sa a, nenpòt n gon ka dekonpoze nan (n-2) -trianj. An menm tan an, youn nan yo ka konbine (n-3) -kadriyaj la. Ansanm ak sa, chak kwadrilateral pral gen yon dyagonal. Depi de dyagonal ka trase nan konvèks figi jeyometrik sa a, sa vle di ke li se posib yo trase dyagonal adisyonèl (n-3) nan nenpòt ki (n-3) -kadrangles. Pwosè sa a, li ka konkli ke nan nenpòt patisyon regilye li posib pote soti nan (n-3) -diagonal ki koresponn ak kondisyon sa yo nan pwoblèm sa a.

Zòn nan poligon konvèks

Souvan, lè rezoud pwoblèm plizyè nan jeyometri elemantè, li vin nesesè pou detèmine zòn nan nan yon poligon konvèks. Sipoze ke (Xi Yi), mwen = 1,2,3 ... n se yon sekans kowòdone nan tout vèt vwazen nan yon poligòn ki pa gen entèseksyon pwòp tèt ou. Nan ka sa a, se zòn li yo ki kalkile nan fòmil ki annapre yo:

_{S = ½ (Σ (X mwen} + X mwen + ₁₎ (Y _{m +} Y _mwen + _1)),

dans (X _1, Y _{1) = (X N +1, Y} n + _1).