Teyori a nan pwobabilite. Pwobabilite nan yon evènman, evènman okazyonèl (teyori pwobabilite). Endepandan ak enkonpatib devlopman nan teyori a nan pwobabilite

Li se fasil ke anpil moun ap mande si wi ou non li posib kalkile evènman ki nan yon sèten mezi aksidantèl. Nan mo ki senp, èske li reyèlman posib pou konnen ki bò nan zo yo nan zo pral lage pwochen fwa. Li te kesyon sa a mande de syantis gwo, moute fondasyon kay la pou syans sa a, teyori a nan pwobabilite, pwobabilite pou evènman an nan ki etidye nan anpil ase.

Orijin

Si nou eseye defini tankou yon konsèp tankou teyori pwobabilite a, lè sa a yo pral jwenn rezilta sa a: sa a se youn nan branch yo nan matematik ki kontra ak etid la nan konstan nan evènman o aza. Klèman, konsèp sa a pa reyèlman divilge pwen an antye, kidonk li nesesè yo konsidere li nan plis detay.

Mwen ta renmen kòmanse ak fondatè yo nan teyori a. Jan sa te mansyone pi wo a, te gen de, ki chak Ferma ak Blez Paskal. Yo te youn nan premye a yo sèvi ak fòmil yo ak kalkil matematik yo kalkile rezilta a nan yon evènman. An jeneral, kòmanse nan syans sa a manifeste tèt li nan Mwayennaj yo. Nan tan sa a, divinò divès kalite ak syantis yo te eseye analize jwèt aza, tankou kazino, zo yo ak sou sa, kidonk etabli regilarite a ak pousantaj rapò nan sezon otòn la nan yon nimewo patikilye. Te fondasyon an mete nan disetyèm syèk la jisteman pa syantis yo pi wo a mansyone.

Nan premye fwa, travay yo pa t 'kapab dwe atribiye nan reyalizasyon yo gwo nan jaden sa a, paske tout bagay yo te fè te reyalite tou senpleman anpirik, ak eksperyans yo te vizualize san yo pa itilize nan fòmil. Apre yon tan, li te tounen soti reyalize rezilta gwo, ki te parèt akòz obsèvasyon nan voye nan zo yo. Li te zouti sa a ki te ede jwenn premye fòmil yo konpreansibl.

Tankou-èspri moun

Li enposib nou pa mansyone tankou yon moun tankou Christian Huygens, nan pwosesis etidye sijè ki rele "teyori pwobabilite" (pwobabilite evènman an kouvri nan syans sa a). Moun sa a trè enteresan. Li, osi byen ke syantis yo prezante anwo a, yo te eseye dériver lwa yo nan evènman o aza nan fòm lan nan fòmil matematik. Se enpòtan pou remake ke li pa t 'fè li ansanm ak Pascal ak Fermat, se sa ki, tout travay li pa t' sipèpoze ak lespri sa yo. Huygens sòti konsèp debaz yo nan teyori pwobabilite.

Li enteresan ke travay li te pibliye lontan anvan rezilta yo nan travay yo nan dekouvètè yo, oswa olye, ven ane pi bonè. Pami konsèp yo deziyen, ki pi popilè yo se:

• Konsèp nan pwobabilite kòm grandè a nan yon chans;
• Ap atann matematik pou ka diskrè;
• Teyorèm nan miltiplikasyon ak adisyon nan pwobablite.

Epitou li enposib pa sonje Jakob Bernoulli, ki moun ki tou te fè yon kontribisyon enpòtan nan etid la nan pwoblèm nan. Fè pwòp li, pa gen yon sèl sou tès endepandan, li jere yo prezante yon prèv nan lwa a nan nimewo gwo. Nan vire, syantis yo nan Poisson ak Laplace, ki te travay nan syèk la byen bonè diznevyèm, yo te kapab pwouve teyorèm orijinal yo. Li te soti nan moman sa a sou yo sèvi ak teyori a nan pwobabilite analize erè nan kou a nan obsèvasyon. Syantis Ris yo, oswa plis jisteman Markov, Chebyshev ak Diapunov pa t 'kapab kontoune syans sa a swa. Yo, ki baze sou travay la fè pa jeni yo gwo, fiks sijè sa a kòm yon seksyon nan matematik. Figi sa yo te travay nan fen diznevyèm syèk la, ak gras a kontribisyon yo, tankou fenomèn tankou:

• Lwa a nan nimewo gwo;
• Teyori nan chenn Markov;
• Central teyorèm limit.

Se konsa, ak istwa a nan nesans la nan syans ak ak prensipal moun ki enfliyanse li, tout bagay se pi plis oswa mwens klè. Koulye a, li lè yo concretize tout reyalite yo.

Konsèp debaz

Anvan manyen lwa ak teyorèm, li vo etidye konsèp debaz yo nan teyori pwobabilite. Evènman an nan li pran yon wòl dominan. Sijè sa a se byen volumineuz, men san li ou pa yo pral kapab konprann tout lòt bagay.

Evènman an nan teyori pwobabilite se Nenpòt seri rezilta nan eksperyans la. Pa gen anpil nosyon nan fenomèn sa a. Se konsa, syantis Lotman, ki moun ki ap travay nan jaden sa a, te di ke nan ka sa a li se sou sa ki "rive, byenke li pa t 'rive".

evènman o aza (teyori pwobabilite peye atansyon espesyal yo) - se yon konsèp ki enplike nan absoliman nenpòt fenomèn gen posibilite a rive. Oswa, sou kontrè a, senaryo sa a pa ka rive lè anpil kondisyon yo satisfè. Li se tou entérésan konnen ke li se evènman o aza ki kaptire volim an antye nan fenomèn ki te fèt yo. Teyori pwobabilite a endike ke tout kondisyon yo ka repete tout tan tout tan an. Se te kondwit yo ki te rele "eksperyans" oswa "tès la."

Yon evènman sèten se yon fenomèn ki pral konplètman rive nan pwosè sa a. An konsekans, yon evènman enposib se youn ki pa rive.

Konbine yon pè nan aksyon (kondisyon A ka ak ka B) se yon fenomèn ki fèt ansanm. Yo te deziye kòm AB.

Sòm pè nan evènman A ak B se C, nan lòt mo, si omwen youn nan yo rive (A oswa B), Lè sa a, rezilta a se C. Fòmil la pou fenomèn ki dekri la ekri tankou: C = A + B.

Ki pa-jwenti evènman nan teyori pwobabilite vle di ke de ka mityèlman eskli youn ak lòt. An menm tan an yo pa ka rive nan nenpòt ka. Joint evènman nan teyori pwobabilite yo antipode yo. Isit la li vle di ke si Yon rive, Lè sa a, li pa anpeche V.

Opoze evènman (teyori a nan pwobabilite trete yo nan detay gwo) yo fasil pou konprann. Li pi bon pou fè fas ak yo an konparezon. Yo se prèske menm bagay la kòm evènman konsistan nan teyori pwobabilite. Men, diferans yo bay manti nan lefèt ke youn nan fenomèn anpil nan nenpòt ka ta dwe rive.

Evènman egalman posib yo se aksyon ki gen repetibilite ki egal. Pou yo kapab klè, ou ka imajine voye yon pyès monnen: sezon otòn la nan youn nan kote li yo se menm chans tonbe nan yon lòt.

Yon evènman favorab se pi fasil yo konsidere ak yon egzanp. Sipoze gen yon Episode B ak yon Episode A. Premye a se yon woulo liv nan zo yo ak aparans nan yon nimewo enpè, ak dezyèm lan se aparans nan nimewo a senk sou kib la. Lè sa a, li sanble ke A se favorab a B.

evènman endepandan nan teyori pwobabilite ki projetée sèlman sou de oubyen plis okazyon ak ankouraje yo patisipe endepandan de nenpòt ki aksyon ki soti nan lòt la. Pou egzanp, A - jete yon ke pandan y ap voye yon pyès monnen, ak B - jwenn yon jack soti nan yon pil. Yo se evènman endepandan nan teyori pwobabilite. Avèk moman sa a li te vin pi klè.

Evènman depandan nan teyori pwobabilite yo tou admisib sèlman pou seri yo. Yo vle di yon depandans sou chak lòt, se sa ki, fenomèn B a ka rive sèlman si A te deja fèt oswa, Kontrèman, pa te fèt, lè sa a se kondisyon an prensipal pou V.

Rezilta yon eksperyans o aza ki gen yon sèl eleman se evènman elemantè. Teyori pwobabilite a eksplike ke sa a se yon fenomèn ki te fèt sèlman yon fwa.

Fòm Debaz

Se konsa, nosyon yo "evènman", "teyori pwobabilite" yo te konsidere anwo a, yo te bay definisyon definisyon tèm debaz syans sa a tou. Koulye a, li lè yo jwenn abitye avèk fòmil enpòtan. Sa yo ekspresyon matematik konfime tout konsèp prensipal yo nan tankou yon sijè konplike kòm teyori a nan pwobabilite. Chans pou evènman an jwe yon gwo wòl isit la.

Li pi bon kòmanse ak fòmil debaz yo nan combinatorics. Epi anvan ou ale nan yo, li se vo konsidere sa li ye.

Combinatorics se premyèman yon branch nan matematik, li kontra ak etid la nan yon nimewo gwo integers, osi byen ke pèrmutasyon divès kalite nimewo yo tèt yo, eleman yo, done divès kalite, elatriye, ki mennen nan aparans nan yon kantite konbinezon. Anplis de sa nan teyori pwobabilite, branch sa a enpòtan pou estatistik, syans òdinatè ak kriptografik.

Se konsa, kounye a ou ka kontinye nan reprezantasyon an nan fòmil yo tèt yo ak definisyon yo.

Premye a nan sa yo pral yon ekspresyon pou ki kantite pèrmutasyon, li sanble sa a:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Se ekwasyon an itilize sèlman si eleman yo diferan sèlman nan lòd la kote yo.

Koulye a, ap fòmil la plasman dwe konsidere, li sanble sa a:

A_n ^ m = n ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n-m + 1) = n! : (N - m)!

Ekspresyon sa a aplikab pa sèlman nan lòd nan plasman nan eleman an, men tou, konpozisyon li yo.

Ekwasyon twazyèm lan nan combinatorics, epi li se lèt la, yo rele fòmil la pou kantite konbinezon:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Yon konbinezon se yon echantiyon ki pa bay lòd, respektivman, ak règ sa a aplike a yo.

Avèk fòmil yo konbinatwar li te posib sòt deyò san difikilte, kounye a nou ka kontinye nan definisyon an klasik nan pwobablite. Ekspresyon sa a sanble sa a:

P (A) = m: n.

Nan fòmil sa a, m se kantite kondisyon ki favorize evènman A, ak n se kantite absoliman tout rezilta egalman posib ak elemantè.

Gen yon anpil nan ekspresyon, atik la pa pral kouvri tout bagay, men yo menm ki pi enpòtan yo pral afekte, tankou pwobabilite pou sòm total la nan evènman:

P (A + B) = P (A) + P (B) se teyorèm pou ajoute sèlman evènman enkonpatib;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - yon sèl sa a pou adisyon se sèlman konpatib.

Pwobabilite nan evènman an:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) se teyorèm pou evènman endepandan;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A; B)), ak sa pou moun depandan yo.

Fen lis la nan fòmil evènman. Teyori a nan pwobabilite di nou sou teyorèm la Bayes, ki sanble tankou sa a:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) n n P (H_k) P (AHH_k)), m = 1, N

Nan ka sa fòmil, H _1, H _2, ..., H _n - se yon seri konplè sou ipotèz.

Nou pral rete sou sa, nou pral plis konsidere egzanp de aplike fòmil pou rezoud pwoblèm espesifik soti nan pratik.

Egzanp

Si ou ak anpil atansyon etidye nenpòt seksyon matematik, li pa fè san egzèsis ak solisyon echantiyon yo. Se konsa, teyori a nan pwobabilite: evènman, egzanp isit la se yon eleman entegral, ki konfime kalkil syantifik.

Fòmil la pou kantite permutasyon

Ann di ke gen trant kat nan yon pil kat, kòmanse ak yon valè nominal nan yon sèl. Next kesyon. Konbyen fason gen fason yo pliye pil la pou ke kat ak valè nominal yon sèl ak de yo pa sitiye kòt a kòt?

Se travay la mete, kounye a kite a deplase sou solisyon li yo. Premyèman, nou bezwen detèmine kantite permutasyon nan trant eleman, pou sa nou pran fòmil ki anwo la a, nou jwenn P_30 = 30 !.

Ki baze sou règleman sa a, nou aprann konbyen opsyon gen yo pliye pil la nan diferan fason, men nou bezwen retire nan men moun sa yo ki nan kat yo premye ak dezyèm yo pral pwochen. Pou fè sa, nou kòmanse ak opsyon a, lè premye a se pi wo a dezyèm lan. Li sanble ke premye kat la ka pran ven-nèf kote - soti nan premye nan ven-nevyèm lan, ak dezyèm kat la soti nan dezyèm lan nan 30 la, ou jwenn sèlman ven-nèf kote pou yon pè nan kat. Nan vire, rès la ka pran ven-uit kote, ak nan yon lòd abitrè. Sa se, pou echanj la nan ven-uit kat gen ven-uit varyan P_28 = 28!

Nan fen a, li sanble ke si nou konsidere solisyon an, lè kat la an premye se sou dezyèm lan, posiblite yo siplemantè pral vire soti nan 29 ⋅ 28! = 29!

Sèvi ak menm metòd la, ou bezwen kalkile kantite opsyon redondants pou ka a kote premye kat la se anba yon sèl nan dezyèm. Li sanble tou 29 ⋅ 28! = 29!

Soti nan sa a li swiv ke opsyon siplemantè 2 ⋅ 29!, Pandan y ap fason ki nesesè yo kolekte yon pil nan 30! - 2 29 29. Li rete sèlman pou konte.

30! = 29! ⋅ 30; 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Koulye a, nou bezwen miltipliye tout nimewo yo soti nan youn a ven-nèf, Lè sa a, miltipliye tout bagay pa 28. Nan fen a, nou jwenn 2,4757335 ⋅ 10

Solisyon nan egzanp lan. Fòmil la pou kantite plasman yo

Nan travay sa a li nesesè pou chèche konnen konbyen fason pou yo mete kenz komèsan sou yon sèl etajè, men sou kondisyon ke tout komèsan yo trant.

Nan pwoblèm sa a, solisyon an se yon ti kras pi senp pase nan yon sèl anvan an. Sèvi ak fòmil la deja li te ye, li nesesè kalkile kantite total aranjman soti nan trant komèsan a kenz.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Repons lan, respektivman, yo pral 202 843 204 931 727 360 000.

Koulye a, kite a pran travay la yon ti kras pi plis konplike. Li nesesè pou chèche konnen konbyen fason pou yo mete trant liv sou de bibliyotèk yo, depi sèlman kenz komèsan yo kapab sou yon sèl etajè.

Anvan nan konmansman an nan solisyon an, mwen ta renmen klarifye ke kèk pwoblèm yo rezoud nan plizyè fason, kidonk gen de fason nan sa a, men tou de sèvi ak menm fòmil la.

Nan travay sa a, nou ka pran repons lan nan yon sèl anvan an, paske nou kalkile konbyen fwa li posib ranpli etajè a pou kenz liv nan diferan fason. Li te tounen soti ke A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Pral dezyèm etajè a ap kalkile dapre fòmil la pèmitasyon, depi kenz liv yo mete nan li, pandan ke gen sèlman kenz liv ki rete. Nou itilize fòmil P_15 = 15!

Li sanble ke sòm sa a pral A_30 ^ 15 ⋅ P_15 fason, men san konte sa a, pwodwi a nan tout nimewo soti nan trant-sèz pral oblije miltipliye pa pwodwi a nan nimewo soti nan youn a kenz, nan fen a nou jwenn pwodwi a nan tout nimewo soti nan youn a trant, se sa ki repons lan Èske egal a 30!

Men, travay sa a ka rezoud nan yon fason diferan - li pi fasil. Pou fè sa, ou ka imajine ke gen yon sèl etajè pou trant liv. Tout nan yo yo mete sou avyon sa a, men depi kondisyon an egzije ke gen de etajè, Lè sa a, nou koupe yon sèl lontan te wè nan mwatye, nou jwenn de pa kenz. Soti nan sa a li sanble ke varyant yo nan aranjman an kapab P_30 = 30 !.

Solisyon nan egzanp lan. Fòmil la pou nimewo konbinezon an

Koulye a, nou pral konsidere yon Variant nan pwoblèm nan twazyèm soti nan combinatorics. Li nesesè pou chèche konnen konbyen fason gen pou fè aranjman pou kenz liv, depi ou bezwen chwazi de trant absoliman idantik.

Pou solisyon an, nan kou, ap fòmil la pou kantite konbinezon yo pral aplike. Soti nan kondisyon an li vin klè ke lòd la nan liv yo kenz idantik se pa enpòtan. Se poutèt sa, okòmansman li nesesè yo chèche konnen kantite total konbinezon nan trant liv pa kenz.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Sa a tout. Sèvi ak fòmil sa a, nan tan ki pi kout la li te posib pou rezoud tankou yon pwoblèm, repons lan, respektivman, se 155 117 520.

Solisyon nan egzanp lan. Definisyon nan klasik nan pwobabilite

Sèvi ak fòmil ki anwo a, ou ka jwenn repons lan nan yon travay ki senp. Men, sa ap ede vizyèlman wè epi swiv kou a nan aksyon.

Nan pwoblèm nan li yo bay ke gen dis voye boul absoliman ki idantik nan urn la. Nan sa yo, kat yo jòn ak sis yo ble. Youn nan boul yo pran nan urn la. Ou bezwen konnen pwobabilite pou resevwa ble.

Pou rezoud pwoblèm nan, li nesesè pou deziyen de boul la ble pa evènman A. Eksperyans sa a ka gen rezilta dis, ki, nan vire, yo se elemantè ak egalman posib. An menm tan an, soti nan dis dis sis yo favorab pou evènman an A. Nou deside dapre fòmil la:

P (A) = 6: 10 = 0.6

W ap fè aplikasyon fòmil sa a, nou te aprann ke posibilite pou dostavaniya boul ble se 0.6.

Men kèk egzanp sou solisyon yo. Pwobabilite ki genyen pou kantite lajan evènman

Ki moun ki pral yon Variant ki se rezoud lè l sèvi avèk fòmil la nan pwobabilite nan kantite lajan evènman yo. Se konsa, bay kondisyon an ke gen de ka yo, yon sèl nan premye se gri ak senk voye boul blan, pandan y ap dezyèm - uit gri ak kat voye boul yo blan. Kòm yon rezilta, bwat yo premye ak dezyèm te pran sou youn nan yo. Li nesesè yo chèche konnen ki sa yo chans yo ke te manke voye boul yo ki gen koulè gri ak blan.

Pou rezoud pwoblèm sa a, li se nesesè yo idantifye evènman an.

• Se konsa, A - nou gen yon boul gri nan ti bwat la an premye: P (A) = 1/6.
• A '- anpoul blan tou pran nan bwat la an premye: P (A') = 5/6.
• - deja extrait Boul la gri nan gwo kannal anba tè a dezyèm: P (B) = 2/3.
• B '- te pran yon boul gri nan tiwa nan dezyèm: P (B') = 1/3.

Dapre pwoblèm nan li nesesè pou youn nan fenomèn yo te pase: AB 'oswa' B. Lè l sèvi avèk fòmil la, nou jwenn: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Koulye a, te fòmil la nan miltipliye pwobabilite ki itilize. Apre sa, yo chèche konnen repons lan, ou bezwen pou aplike pou ekwasyon yo pandan l ajoute:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Sa a ki jan, lè l sèvi avèk fòmil la, ou ka rezoud pwoblèm sa yo.

rezilta

te Papye a prezante bay enfòmasyon ki sou "teyori pwobabilite", pwobabilite a nan evènman ki jwe yon wòl enpòtan. Natirèlman, li te pa tout bagay te konsidere kòm, men sou baz la nan tèks la prezante, ou ka teyorikman jwenn konnen ak branch sa a nan matematik. Konsidere kòm syans kapab itil pa sèlman nan biznis la pwofesyonèl, men tou, nan lavi chak jou. Ou ka sèvi ak li nan kalkile nenpòt posiblite pou yon evènman.

te tèks la tou ki afekte nan dat enpòtan nan istwa a nan devlopman nan teyori pwobabilite kòm yon syans, ak non yo nan moun ki gen travay yo te mete ladan li. Sa a ki jan moun kiryozite gen mennen nan lefèt ke moun te aprann yo konte, menm evènman o aza. Yon fwa yo yo se jis enterese nan sa a, men jodi a li se deja li te ye nan tout. E pa gen yon moun ka di sa ki pral rive nou nan tan kap vini an, ki sa lòt dekouvèt briyan ki gen rapò ak teyori a anba konsiderasyon, ta dwe komèt. Men, yon bagay se pou asire w - etid la toujou se pa vo la pèn!