Jewometrik pwogresyon ak pwopriyete li yo

Jewometrik pwogresyon enpòtan nan matematik kòm yon syans, ak aplike siyifikasyon, depi li gen yon sijè ki abòde trè laj, menm nan matematik yo pi wo, pou egzanp, nan teyori a nan seri. enfòmasyon an premye sou pwogrè a rive nou soti nan ansyen peyi Lejip, patikilyèman nan fòm lan nan yon pwoblèm ki byen koni nan papiris la Rhind sèt moun ki gen sèt chat. Varyasyon nan travay sa a yo te repete plizyè fwa nan fwa diferan de lòt nasyon yo. Menm Velikiy Leonardo Pizansky a, li te ye kòm Fibonacci (XIII c.), Pale ak li nan li "Liv la Abacus la."

Se konsa, ki pwogresyon a jewometrik gen yon istwa tan lontan. Li reprezante yon sekans nimerik avèk yon manm zewo premye, ak chak ki vin apre, kòmanse ak dezyèm lan se detèmine pa miltipliye fòmil la repetition anvan nan yon konstan, nimewo zewo yo rele denominatè pwogresyon (li anjeneral deziyen lè l sèvi avèk lèt q an).
Li evidan, li ka jwenn lè yo divize chak tèm ki vin apre a sekans nan anvan an, dir z 2: z 1 = ... = ZN: z n-1 = .... Kontinwe, pou pifò pwogresyon travay (ZN) ase ke li konnen valè a nan premye tèm nan nan denominatè a ak y 1 q.

Pou egzanp, kite z 1 = 7, q = - 4 (q <0), lè sa a ap swiv pwogresyon nan jewometrik jwenn 7 - 28, 112 - 448, .... Kòm ou ka wè, sekans an ki kapab lakòz se pa monotone.

Sonje byen, yon sekans abitrè nan monotone (ogmante / diminye) lè youn nan manm li yo swiv plis / mwens pase yon anvan an. Pou egzanp, sekans 2, 5, 9, ..., ak -10, -100, -1000, ... - Monotone, youn nan dezyèm - yon diminye jewometrik pwogresyon la.

Nan ka a kote q = 1, tout manm yo yo jwenn yo dwe, epi li rele pwogresyon a konstan.

Sekans an te pwogresyon a nan kalite sa a, li dwe satisfè kondisyon ki anba la a ki nesesè yo ak ase, sètadi: kòmanse nan dezyèm lan, chak nan manm li yo yo ta dwe vle di la jewometrik nan manm vwazen.

Pwopriyete sa a pèmèt nan sèten de adjasan jwenn abitrè tèm pwogresyon.

n-th tèm exponentielle fasil jwenn pa fòmil la: ZN = z 1 * q ^ (n-1), z konnen premye manm 1 ak q nan denominatè.

Depi sekans nan nimewo gen yon sòm, Lè sa a, yon kèk kalkil senp ban nou yon fòmil yo kalkile sòm total la nan pwogresyon nan premye nan manm yo, sètadi:

S n = - (ZN * q - z 1) / (1 - q).

Ranplase, nan fòmil an li yo valè ekspresyon ZN z 1 * q ^ (n-1) yo jwenn yon fòmil dezyèm sòm nan pwogresyon: S n nan = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Se merite pou yo atansyon yo enteresan lefèt: grenn nan ajil yo te jwenn nan fouyman nan ansyen lavil Babilòn, ki vle di VI la. BC, gen remakab fason sòm total la nan 1 + 2 + ... + 22 + 29 egal a 2 a mwens nan pouvwa dizyèm 1. eksplikasyon an nan fenomèn sa a pa gen ankò te jwenn.

Nou sonje youn nan pwopriyete yo nan jewometrik pwogresyon - yon travay konstan nan manm li yo, espace nan distans egal soti nan pwent yo nan sekans lan.

Ki gen enpòtans patikilye soti nan yon pwen syantifik de vi, tankou yon bagay tankou yon pwogresyon enfini jewometrik ak kalkile kantite lajan li yo. Nou asime ke (yn) - yon jewometrik pwogresyon gen denominatè q, satisfè kondisyon | q | <1, kantite lajan li yo pral refere yo bay limit la nan direksyon pou ki nou deja konnen sòm total la nan manm premye li yo, ak ogmantasyon illimité nan n, lè sa a gen nan nan li apwoche Infinity.

Jwenn kantite lajan sa a kòm yon rezilta nan lè l sèvi avèk fòmil la:

S n = y 1 / (1-q).

Epi, menm jan eksperyans te montre, pou senplisite la aparan nan sa a pwogresyon se kache yon potansyèl aplikasyon gwo. Pou egzanp, si nou konstwi yon sekans nan kare dapre algorithm ki anba la a, konekte pwen milye yo nan yon sèl anvan-an, Lè sa a, yo fòme yon kare enfini pwogresyon jewometrik gen yon denominatè 1/2. Fòm nan pwogresyon menm ak zòn nan triyang, jwenn li nan chak etap nan konstriksyon, ak sòm total li yo ki egal a zòn nan nan kare a orijinal la.